차원해석(Dimension analysis)을 이용한 무차원수 모델링 - 열, 유체역학

금일 포스팅에서는 필자가 차원해석 스터디를 하면서 요약 정리한 부분을 남겨두려고 한다. 

 

유체역학 교재에 나오는 내용이며, 열 및 유체역학 분야에서는 무차원수를 자주 만나볼 수 있기 떄문에 개념을 머리에 넣어두면 도움이 된다. 

 

필자의 경우는 실험식을 이용한 회귀식 모델링 등을 할 때에 차원해석 개념을 가지고, 실험계획법을 적용하여 단위에 제한을 받지 않는 예측식 모델링에 활용하였다. 

 

대부분의 유명한 무차원수 NTU, Nusselt, Prandtl 수 등이 전부 실험으로 만들어졌고, 무차원 개념으로 적용된 부분이니 동일하다. 

 

요약은 포스팅으로 적다보니 다소 난해해보일 수 있는데, 윗첨자는 ^를 이용하여 기재하였으니 이미 찾아서 보러 오신 분들은 알아보실 수 있으리라 생각한다. 

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● 차원해석

· M(kg)L(m)T(s) 계, F(N)L(m)T(s) 계로 공식을 표현할 수 있음.

 

· 특정 현상의 독립변수와 종속변수간의 상관관계를 보다 용이하게 검토, 기술하기 위하여 관련 변수들의 수를 더 작은 무차원 변수로 줄이기 위한 수학적인 기법이다. 일반적으로 변수의 증가에 따른 실험횟수는 3승에 비례하며 따라서 변수가 4개일 때와 2개일 때의 실험횟수는 8배의 노력을 요한다

 

·  기본가정

1. n  등식 양변의 차원은 동일

2. n  변수간의 상관관계는 y = k*x1^a*x2^b*x3^c 형태로 쓸 수 있음

3. n  모든 값은 절대치를 사용

4. n  모든 변수는 서로 독립성을 유지

 

●  Rayleigh method

· 형태: 독립변수와 종속변수간의 상관관계에 대한 일반식은 y = ƒ (x1, x2, x3.....)

 

· 장점: 예를 들어 자유낙하 거리와 시간 그리고 중력가속도간의 관계는 s = 1/2*g*t^2으로 세 개의 독립변수로 구성된 식을 유도하기 위한 실험횟수는 최소 3의 3승인 27회 이상 실험해야 하나 차원해석을 이용하면 실험은 단 한번으로 줄어들게 됨

 

· 한계점: 독립변수의 수가 변수들이 내포하고 있는 차원의 수보다 많을 경우 적용이 불가능함. 이를 극복하조가 제안된 기법이 Buckingham-Phi 정리

 

● Buckingham-Phi 정리

· Buckingham의 phi theorem은 n개의 물리량을 포함하고, m(유체역학에서는 보통 MLT의 3개)개의 기본량을 갖는 물리적 문제에 있어서 이들 n 개의 물리량은 n –m 개의 독립 무차원수로 대치할 수 있으며 이들 무차원수로 기술할 수 있다는 것을 말한다.

 

· f(A1, A2, …, An) = 0 을 f(phi1, phi2, …, phin-m) = 0 으로 만들 수 있음.

 

· 무차원 항인 Phi-term을 구하는 이유 (장점)

1. n  변수의 수가 감소

2. n  Phi-term은 무차원이기 때문에 모형의 규모에 관계없이 실험이 가능

3. n  Phi-term이 모델 설계와 해석의 기초가 되기 때문

 

· 무차원 수 phi를 만드는 방법은 다음과 같음.

1. 물리량 A 중에서 서로 다른 차원을 갖는 m(3개)개의 물리량을 선택하여 반복변수로 사용한다. 제 1물리량은 기하학적 상사를 고려하여 길이나 직경, 제 2물리량은 운동학적 상사를 고려하여 속도나 가속도, 제 3물리량은 역학적 상사를 고려하여 밀도나 비중량을 선택한다.

2. 반복변수와 나머지 물리량 중 1개를 결합하여 하나의 무차원수를 구한다. 따라서 물리량중 반복변수를 뺀 숫자만큼의 무차원수가 얻어진다. 즉 (n-m)개이다.

 

 

· Buckingham의 π정리를 이용한 차원해석 실시 순서

1. 종속변수에 영향을 미치는 주요 독립변수를 선택

2. m개의 다른 차원을 가진 반복변수를 선택한다

3. m개의 반복변수와 반복변수가 아닌 나머지 독립변수 한 개씩을 이용, (n-m)개의 무차원 수 (π-term)를 결정

4. π-terms을 이용하여 실험계획을 수립, 수행하여 무차원 함수 (π-term)간의 상관관계를 도시

 

· Buckingham의 π정리를 이용한 Reynolds number 도출 예

§[Q] 유체유동의 특성이 속도 V, 길이 L, 밀도 ρ, 점성계수 μ의 물리량과 관계가 있다. 이를 phi 정리에 의해 무차원수로 표시하라.

 

[Solution]

3개(m)를 반복변수로 택하면 총 물리량이 4개(n)이므로 무차원수는 1개(m-n)이다.

π_1=L^a * V^b * ρ^c * μ으로 놓고, 차원으로 표시하면 아래와 같다. 

 

[M0L0T0] = [(L)a (LT-1)b (ML-3)c (ML-1T-1)]

▫ M: c + 1 = 0

▫ L: a + b - 3c - 1 =0

▫ T: - b – 1 =0

 

∴ a = -1, b = -1, c = -1 이고, π_1=μ/LVρ 이고, 무차원수 π는 필요시 역수를 취할 수 있으므로 π_1=LVρ/μ 이다. 이는 Reynolds number 가 된다. 

 

● 무차원 수의 대표 예시

[요약정리 출저: 유체역학, 엄기찬 외 2인, 1996; Fundamentals of fluid mechanics 2nd edition, GerHart et al., 1992; http://www.kwra.or.kr/data/bun2008/02.pdf]